Qué (quién) es Меры теория - definición
АДДИТИВНАЯ ЧИСЛЕННОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОТ МНОЖЕСТВА
Носитель меры; Пространство с мерой; Конечно-аддитивная мера; Σ-аддитивность; Теория меры; Счётно-аддитивная мера; Мера (математика); Финитная мера; Меры теория
Меры теория
раздел математики, изучающий свойства мер множеств (см. Мера множества). М. т. возникла на основе работ М. Э. К. Жордана, Э. Бореля (См. Борель) и в особенности А. Лебега в конце 19 - начале 20 вв., в которых понятия длины, площади и объёма распространялись за пределы класса обычно рассматриваемых в геометрии фигур. Впоследствии предметом М. т. стали меры в наиболее общем понимании (вполне аддитивные функции множеств). Развитие М. т. тесно связано с развитием теории Интеграла.
Теория нечёткой меры
Теория нечеткой меры
Теория нечёткой меры рассматривает ряд специальных классов мер, каждая из которых характеризуется специальным свойством. Некоторые из мер, используемых в этой теории — это меры уверенности и правдоподобности из теории возможностей, функция принадлежности, а также классические вероятностные меры.
Мера множества
математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (Δ) любого квадрата Δ полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов Δ1, Δ2,..., Δn,...; нижнюю грань чисел
взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой m*(А) множества А. Нижняя (внутренняя) мера m* (А) множества А определяется как разность
где Δ - какой-либо квадрат, содержащий множество А, и 
- множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А. Множества, для которых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение m (А) верхней и нижней мер - мерой Лебега множества А. Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами.
Основные свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m (A)Δ ́≥ ́0; 2) мера суммы
конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств A1, A2..., An... равна сумме их мер:
3) при перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.
Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0, 1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из них плотно на интервале (0, 1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В; в то же время они резко различаются по мере: m (А) = 0, а m (В) = 1.
Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (См. Борель) (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл.
Развитие ряда отделов современной математики привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры. При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное множество и 
- некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в 
, называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся множеств A1, A2,..., An,..., входящих в , сумма А которых входит в , имеет место равенство
- некоторое семейство его подмножеств. Неотрицательную функцию μ(A), определённую для всех А, входящих в , называют мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности непересекающихся множеств A1, A2,..., An,..., входящих в , сумма А которых входит в , имеет место равенство и если, кроме того, система удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования.
удовлетворяет определённым дополнительным условиям. Множества, входящие в , называют измеримыми (по отношению к мере μ). После того как определена мера μ, вводят понятие измеримых (по отношению к μ) функций и операцию интегрирования. Многие основные утверждения из теории меры Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет математическое основание современной теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым. Специальный интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М. - Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Халмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.
Ю. В. Прохоров.
Wikipedia
Мера множества
Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла.
Собственно, мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством аддитивности — мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.
Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств , обобщающая понятие объёма , площади или длины на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью.
